Lista de exercícios - Equação de Schrodinger - incompleta

1. A partir dos seguintes números complexos:

A = 2 + 2i	D = 8
B = 3 + 6i	E = -4i
C = -6 + 3i	F = 6 - 8i

Determine:

a.   A + B, A - C, C - D, B + E, D + F, C + E, D + F

b. A.B, A.C, B.D, C.E, E.F, D.E

c. A/B, A/D, B/C, B/E, C/F, D/E, D/F

d. A², B² , C², D², E², F²

e. Represente A, B, C, D, E e F em coordenadas polares

f. A⁶, B³, C⁵, D³, E⁵, F¹²

g. A^1/2, B^1/3, C^1/4, D^1/3, E^1/2, F^1/6 - represente graficamente as respostas.

h. e^A, e^B, e^C, e^D, e^E, e^F  - represente graficamente as respostas.

2. Um número complexo C qualquer pode ser escrito em coordenas polares da seguinte forma:

C = R.[cos(θ+2π.m) + i.sen(θ + 2π.m)], sendo m um número inteiro maior ou igual a zero.

(a) Demonstre que ao se elevar este número C a uma potência n inteira, o resultado será o mesmo, independente do valor "m" escolhido. (b) Mostre que ao se elevar este número C a uma potência fracionária, do tipo 1/n, diferentes valores de m podem levar a diferentes valores (sugestão: no item b, faça apenas um exemplo para mostrar que se n=2, tem-se soluções diferentes para m=0 e m=1. Para o item (a), deve-se demonstrar que a proposta vale para quaisquer valores de n e m).  

3.  Se as funções de onda ψ₁(x,t), ψ₂ (x,t) e ψ₃ (x,t) são três soluções da equação de schroedinger para um potencial particular V(x,t), mostre que a combinação linear arbitrária ψ(x,t) = ψ₁ (x,t) + ψ₂ (x,t) + ψ₃ (x,t) também é uma solução desta equação.

4. É sabido que a função de onda que representa um objeto quântico sujeito a um potencial quadrado infinito unidimensional que se estende entre x = 0 e x = L é dada por:

a) Suponha que o comprimento entre x=0 e x=L seja dividido em N partes de igual comprimento(sendo N inteiro). Obtenha uma expressão para a probabilidade clássica de encontrar o objeto quântico no primeiro segmento, isto é, entre as posições x = 0 e x = L/N .
b) Obtenha também uma expressão para a probabilidade quântica de encontrar o objeto quântico no mesmo intervalo do item anterior.